آموزش معادلات دیفرانسیل (منطبق با دانشگاه آزاد)

حل و بررسی معادلات دیفرانسیل (Differential Equations) یکی از مهم ترین مباحث در ریاضیات محض و کاربردی، فیزیک و رشته های فنی – مهندسی است. چرا که معادلات دیفرانسیل، علاوه بر اهمیت تئوریک و نظری که دارند، زبان استاندارد مدل سازی ریاضی و توصیف رفتار سیستم ها و طبیعت نیز هستند. از این رو، یکی از مهم ترین درس هایی که در مقطع کارشناسی بسیاری از رشته های فنی – مهندسی و علوم پایه تدریس می شود، درس «معادلات دیفرانسیل معمولی» (Ordinary Differential Equations) است.

از طرفی، با توجه به اهمیت بالای این درس در ایجاد نگرش عمیق و اصولی به پدیده های فیزیکی، طبیعی و صنعتی، یکی از درس هایی که در آزمون های ورودی به مقاطع تحصیلات تکمیلی (کنکور کارشناسی ارشد و دکترا) به صورت همیشگی حاضر است، درس معادلات دیفرانسیل می باشد و همه ساله، تعداد مشخصی سوال از مباحث معادلات دیفرانسیل، در این آزمون ها مطرح می شود.

به ویژه در رشته های مهندسی برق (همه گرایش ها)، مهندسی مکانیک (همه گرایش) و رشته های وابسته به این دو، موضوع درس معادلات دیفرانسیل اهمیت دو چندانی دارد و یکی از لوازم اصلی رشد پایه های علمی دانشجویان و دانش پژوهان در این زمینه ها، اشراف کامل بر مباحث مطرح شده در معادلات دیفرانسیل شیوه های حل این مسائل می باشد.

در وبسایت یونی‌ما آموزش معادلات دیفرانسیل دانشگاه آزاد، با شروع از مبانی درس معادلات دیفرانسیل و مقدمه چینی های نظری لازم، به صورت کاملا نظام مند، مباحث درس معادلات دیفرانسیل (در حدی که در مقطع کارشناسی و در دانشگاه های ایران معمول و مرسوم است) به همراه جزئیات کامل تئوری، با بیان گام به گام و توام با حل مثال ها و مسائل نمونه، مورد بحث و بررسی واقع شده است. مدرس این مجموعه آموزش، دکتر سید مصطفی کلامی هریس (دکترای مهندسی کنترل از دانشگاه صنعتی خواجه نصیرالدین طوسی) است.

در پایان، با حل نمونه سئوال هایی از آزمون کارشناسی ارشد که مربوط به درس معادلات دیفرانسیل هستند، هم بر روی مباحث مطرح شده، مروری کامل و عملی انجام شده است و هم تکنیک های حل مسائل نیز، بررسی شده اند.

فهرست سرفصل ها و رئوس مطالب مطرح شده در مجموعه آموزشی معادلات دیفرانسیل دانشگاه آزاد، در ادامه آمده است:

درس یکم: مقدمه، انواع معادلات دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل تفکیک پذیر

• معرفی درس و مراجع اصلی مورد استفاده در آن
• آشنایی با مفهوم معادله دیفرانسیل و تفاوت آن با یک معادله جبری
• بیان و بررسی مثال «سقوط آزاد یک جسم با فرض وجود مقاومت هوا»
• بررسی مفهوم حل یک معادله دیفرانسیل و هدف از حل آن
• آشنایی با انواع معادلات دیفرانسیل و نحوه تقسیم بندی آن ها
• آشنایی با معادلات دیفرانسیل مرتبه یک
• معادلات دیفرانسیل مرتبه یک تفکیک پذیر و روش حل آن ها
• آشنایی با مفهوم تابع همگن
• آشنایی با معادله دیفرانسیل مرتبه یک با تابع همگن
• حل معادله دیفرانسیل همگن تابعی با تبدیل به یک معادله تفکیک پذیر

درس دوم: معادلات دیفرانسیل مرتبه اول کامل و عامل انتگرال گیر

• معادلات دیفرانسیل کامل و نحوه حل آن ها
• آشنایی با مفهوم عامل انتگرال گیر
• تبدیل معادله غیر کامل به یک معادله کامل با استفاده از فاکتور انتگرال گیر
• استفاده از عامل انتگرال گیر برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه اول خطی
• حل و بررسی معادله دیفرانسیل مربوط به «سقوط آزاد در حضور مقاومت هوا»
• حل و بررسی معادله دیفرانسیل مربوط به «مدار RC درجه یک»

درس سوم: معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی

• آشنایی با معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم
• معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی
• روش حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی با ضرایب ثابت
• تشکیل و حل معادله مشخصه
• پاسخ معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی با دو ریشه حقیقی و مستقل
• یافتن ضریب تابعی تغییر دهنده با روش کاهش مرتبه و تغییر ضریب
• پاسخ معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی با ریشه مضاعف
• پاسخ معادله دیفرانسیل مرتبه دوم خطی با دو ریشه مختلط مزدوج
• حل مثال برای هر یک از حالات معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم
• روش حل معادلات تفاضلی خطی با ضرایب ثابت
• حل معادله تفاضلی مربوط به سری فیبوناچی
• استخراج فرمول ریاضی برای محاسبه غیر بازگشتی مقادیر جملات سری فیبوناچی

درس چهارم: حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم غیر همگن

• بررسی نحوه حل یک معادله دیفرانسیل غیر همگن
• آشنایی با مفهوم پاسخ خصوصی (غیر همگن) و پاسخ مکمل (عمومی یا همگن)
• یافتن پاسخ خصوصی با استفاده از روش ضرایب نامعین
• بررسی شکل کلی پاسخ خصوصی برای حالات مختلف تابع غیر همگن
• نحوه یافتن پاسخ خصوصی در صورت تداخل با پاسخ های همگن
• حل چند مثال در خصوص نحوه حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم غیر همگن
• روش تغییر ضرایب و تبدیل آن ها به تابع برای حل معادلات غیر همگن
• تشکیل دستگاه معادلات خطی برای یافتن ضرایب تابعی
• حل دستگاه با استفاده از قاعده کرامر
• آشنایی با مفهوم دترمینان رونسکین یا Wronskian

درس پنجم: معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه n (بالاتر از دو)

• تعمیم نتایج به دست آمده از حل معادلات دیفرانسیل مرتبه دو برای معادلات با مرتبه بالاتر
• نحوه حل معادلات دیفرانسیل مرتبه n خطی و غیر همگن
• یافتن پاسخ معادلات دیفرانسیل مرتبه n خطی و همگن
• تشکیل معادله مشخصه برای معادلات دیفرانسیل مرتبه n خطی و همگن
• تعمیم روش تغییر ضرایب برای حل معادلات دیفرانسیل مرتبه n غیر همگن
• تشکیل دستگاه معادلات خطی برای یافتن ضرایب تابع
• حل دستگاه با استفاده از قاعده کرامر
• تعمیم مفهوم دترمینان رونسکین یا Wronskian برای سیستم های مرتبه n

درس ششم: حل معادلات دیفرانسیل با استفاده از سری های توانی

• مروری بر مفاهیم پایه سری های توانی
• مروری بر معیارهای همگرایی سری های توانی
• آشنایی با دسته معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم خطی
• آشنایی با مفهوم نقطه عادی یا Ordinary Point
• حل معادلات دیفرانسیل با بسط سری توانی حول یک نقطه عادی
• حل مثال برای نحوه حل معادلات دیفرانسیل با بسط سری توانی
• بررسی ارتباط سری توانی با بسط تیلور و ضرایب آن
• ارائه تعریف جامع تر از یک نقطه عادی (معمولی)

درس هفتم: معادلات اویلر و نقاط تکین (منفرد) منظم – بخش یکم

• آشنایی با معادلات اویلر (نوع خاصی از معادلات دیفرانسیل خطی)
• حل یک معادله اویلر ساده
• تشکیل معادله مشخصه برای معادله دیفرانسیل اویلر ساده و بررسی حالات آن
• حل معادله اویلر با دو ریشه مشخصه حقیقی و مجزا
• حل معادله اویلر با ریشه مشخصه مضاعف
• حل معادله اویلر با دو ریشه مشخصه مزدوج مختلط
• راه حل کلی یک معادله اویلر و جمع بندی نتایج
• تعریف نقطه تکین منظم یا Regular Singular Point
• روش های تعیین نوع نقطه تکین (منفرد)

درس هشتم: معادلات اویلر و نقاط تکین (منفرد) منظم – بخش دوم

• تشخیص نقطه تکین منظم در معادلات دیفرانسیل اویلر (حالت جامع)
• حل معادلات دیفرانسیل اویلر با بسط حول نقاط تکین منظم
• تشکیل معادله اندیسی یا Indicial Equation
• تشکیل معادله بازگشتی یا Recursion
• بررسی پاسخ در حالات مختلف ریشه های معادله اندیسی
• حل مثال در خصوص روش حل معادلات دیفرانسیل اویلر

درس نهم: کاربرد تبدیل لاپلاس در حل معادلات دیفرانسیل

• مروری بر مفهوم تبدیل لاپلاس
• تبدیل لاپلاس چند تابع مهم و معروف
• مرور خواص تبدیل لاپلاس
• حل معادلات دیفرانسیل خطی با استفاده از تبدیل لاپلاس
• تبدیل معادلات دیفرانسیل به معادلات جبری با استفاده از تبدیل لاپلاس
• ساده سازی و استخراج پاسخ از نتیجه معادله جبری حاصل از تبدیل لاپلاس
• حل معادلات دیفرانسیل همگن و غیر همگن خطی با استفاده از تبدیل لاپلاس