آموزش محاسبات عددی (منطبق با دانشگاه آزاد مشهد)

یکی از دروس مقطع کارشناسی اکثر رشته های مهندسی، درس محاسبات عددی است که اغلب در ترم های دوم یا سوم ارائه می شود و در آن معادلات دیفرانسیلی که به روش تحلیلی نمی توانیم آن ها را حل کنیم، به صورت عددی و با دقت بالا حل می گردد.

در ابتدای این آموزش به انواع منابع خطا در محاسبات ریاضی می پردازیم و سپس روش های حل معادلات و دستگاه معادلات خطی و غیرخطی را ارائه می کنیم و در مرحله بعدی، مباحث درون یابی، برون یابی و برازش را مورد بررسی قرار می دهیم.

در ادامه، مشتق گیری و انتگرال گیری عددی، حل عددی معادلات دیفرانسیل، حل عددی دستگاه معادلات دیفرانسیل، تعیین عددی مقادیر ویژه ماتریس ها، روش حداقل مربعات و در نهایت بهینه سازی عددی ارائه می شود. شیوه تدریس بر مبنای حل مساله است و در ابتدا مطالب مرور شده و سپس با حل تمرین های مختلف، جنبه های متفاوت محاسبات عددی مورد بررسی قرار می گیرند.

فهرست سرفصل ها و رئوس مطالب مطرح شده در این مجموعه آموزشی، در ادامه آمده است:

• درس یکم: خطاها
  • مقدمه
  • خطای مطلق و نسبی
  • منابع اصلی خطا
  • خطای چهار عمل اصلی
  • خطای محاسبه فرمول ها
  • خطای محاسبه توابع
• درس دوم: حل عددی معادلات تک متغیره
  • تعیین ریشه با دقت مورد نظر
  • روش های عددی حل معادله (f(x
  • روش دوبخشی
  • روش نابجایی
  • روش نیوتن – رافسون
  • روش وتری
  • روش تکرار ساده
• درس سوم: درون یابی و برون یابی
  • درون یابی
  • الگوریتم لاگرانژ
  • چندجمله ای درون یاب بر حسب تفاضلات تقسیم شده نیوتن
  • تفاضلات متناهی و درون یابی یک تابع، هر گاه نقاط درون یابی متساوی الفاصله باشند
  • شکل دترمینانی چندجمله ای درون یاب
  • خطای چندجمله ای درون یاب
  • برون یابی
• درس چهارم: مشتق گیری و انتگرال گیری عددی
  • مشتق گیری عددی
  • دستورهای مشتق گیری براساس چندجمله ای درون یاب
  • دستورات مشتق گیری با استفاده از بسط تیلور (Taylor Series)
  • خطای مشتق گیری عددی
  • انتگرال گیری عددی
  • قاعده ذوزنقه ای
  • قاعده سیمپسون (Simpson’s Rule)
  • روش نیوتن – کاتس
  • روش گاوس (Gauss)
  • فرمول دونقطه ای گاوس
  • انتگرال های منفرد
  • قاعده نقطه میانی
  • الگوریتم رامبرگ
  • خطای روش های عددی انتگرال گیری
• درس پنجم: حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
  • روش بسط تیلور
  • روش اویلر (Euler)
  • روش هیون (Heun)
  • روش رانگ – کوتای (Runge – Kutta) مرتبه دوم و چهارم
  • دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه اول
  • دستگاه معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم
• درس ششم: حل عددی دستگاه معادلات خطی و غیرخطی
  • دستگاه معادلات خطی
  • حل مستقیم دستگاه معادلات خطی روش حذفی گاوس
  • حل مستقیم دستگاه معادلات خطی روش معکوس ماتریس
  • حل عددی دستگاه معادلات خطی الگوریتم ژاکوبی (Jacobi)
  • حل عددی دستگاه معادلات خطی الگوریتم گاوس – سایدل (Gauss – Seidel)
  • الگوریتم نیوتن برای حل دستگاه معادلات غیرخطی
• درس هفتم: مقادیر ویژه ماتریس ها
  • مقادیر ویژه و بردارهای ویژه
  • خصوصیات مقادیر ویژه
  • تعیین چندجمله ای مشخصه یک ماتریس
  • روش ضرایب نامعین
  • روش کریلف
  • روش لوری یر
  • قضیه کیلی – همیلتون (Cayley – Hamilton)
  • محاسبه عددی بزرگ ترین مقدار ویژه با روش توانی
  • محاسبه عددی همه عددی مقادیر ویژه یک ماتریس با الگوریتم Deflation
• درس هشتم: الگوریتم حداقل مربعات
  • خط حداقل مربعات
  • چندجمله ای حداقل مربعات
  • برازش تابع نمایی
  • برازش تابع چندجمله ای با فرمت دلخواه
  • برازش تابع هیپربولیک
  • رگرسیون خطی
  • حداقل مربعات با تابع دلخواه
• درس نهم: بهینه سازی عددی
  • اهمیت بهینه سازی عددی
  • انواع نقاط اکسترمم توابع
  • الگوریتم Golden section
  • الگوریتم گرادیان نزولی برای بهینه سازی توابع تک متغیره
  • الگوریتم گرادیان نزولی برای بهینه سازی توابع چند متغیره
  • الگوریتم نیوتن
  • مقایسه سرعت همگرایی الگوریتم های گرادیان نزولی و نیوتن

مفید برای رشته های

• مهندسی برق
• مهندسی مکانیک
• مهندسی شیمی